Equazioni, disequazioni e sistemi

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti un’incognita (di solito indicata con x), vera solo per particolari valori attribuiti all’incognita. L’espressione a sinistra dell’uguale si chiama primo membro, quella a destra secondo membro.

I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni (o radici). Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme S di tutte le sue soluzioni. Un’equazione può essere:

• determinata: ha un numero finito di soluzioni (per il primo grado: una sola);
• impossibile: nessun valore la verifica, S = ∅ (es. x = x + 1);
• indeterminata (identità): è vera per qualsiasi valore (es. 2(x + 1) = 2x + 2).

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. I principi di equivalenza permettono di trasformare un’equazione in un’altra equivalente ma più semplice. L’immagine guida è la bilancia a due piatti in equilibrio: i due membri «pesano» uguale, e l’equilibrio si conserva solo se ogni operazione viene fatta su entrambi i piatti.

Primo principio (addizione e sottrazione)

Aggiungendo o sottraendo ai due membri uno stesso numero (o una stessa espressione) si ottiene un’equazione equivalente. Conseguenze pratiche:

• regola del trasporto: un termine può passare da un membro all’altro cambiando di segno;
• termini uguali presenti in entrambi i membri si possono cancellare.

Secondo principio (moltiplicazione e divisione)

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero si ottiene un’equazione equivalente. Conseguenze pratiche:

• si possono cambiare i segni di tutti i termini (equivale a moltiplicare per −1);
• si possono eliminare i denominatori numerici moltiplicando per il loro minimo comune multiplo.

1. Svolgi i calcoli ed elimina le parentesi.
2. Con il 1° principio porta i termini con l’incognita nel primo membro e i termini noti nel secondo (cambiando segno a chi «trasloca»).
3. Riduci i termini simili: ottieni la forma ax = b.
4. Con il 2° principio dividi entrambi i membri per a (se a ≠ 0).

Verificare una soluzione significa sostituirla al posto dell’incognita nell’equazione iniziale (non in quelle intermedie) e controllare che i due membri assumano lo stesso valore.

La verifica protegge dagli errori di calcolo e di trascrizione: se i due valori non coincidono, qualche passaggio va rivisto.

1. Svolgi le parentesi: $3x - 6 = x + 4$
2. Trasporta i termini con $x$ a sinistra e i numeri a destra:
   $3x - x = 4 + 6$  ⟹  $2x = 10$
3. Dividi entrambi i membri per 2: $x = 5$
4. Verifica: $3(5-2) = 9$ e $5+4 = 9$ ✓

1. Calcola il m.c.m. dei denominatori (2 e 3): m.c.m. = 6.
2. Moltiplica entrambi i membri per 6:
   $3x - 6 = 2x + 12$
3. Trasporta: $3x - 2x = 12 + 6$  ⟹  $x = 18$
4. Verifica: $\dfrac{18}{2} - 1 = 8$ e $\dfrac{18}{3} + 2 = 8$ ✓

1. Svolgi le parentesi: $2x + 6 = 2x - 1$
2. Trasporta: $2x - 2x = -1 - 6$  ⟹  $0 = -7$
3. Si ottiene un'affermazione sempre falsa: l'equazione è impossibile ($a=0$, $b \neq 0$).

1. Svolgi le parentesi: $3x - 3 + 2 = 3x - 1$  ⟹  $3x - 1 = 3x - 1$
2. Trasporta: $3x - 3x = -1 + 1$  ⟹  $0 = 0$
3. Si ottiene un'affermazione sempre vera: l'equazione è un'identità ($a=0$, $b=0$).

Un'equazione letterale è un'equazione di primo grado in x i cui coefficienti dipendono da un parametro (di solito indicato con k, a o m). A seconda del valore del parametro, la stessa equazione può comportarsi in modo radicalmente diverso.

L'obiettivo della discussione è classificare l'equazione per ogni possibile valore del parametro, distinguendo sempre tre casi fondamentali.

Dopo aver raccolto tutti i termini contenenti x a sinistra e i termini noti (in k) a destra, si arriva alla forma ridotta:

Il passo critico è la divisione per A(k): è lecita solo se A(k) ≠ 0. La discussione consiste nel risolvere separatamente:

1. A(k) ≠ 0: si divide e si ottiene l'unica soluzione x = B(k) / A(k).
2. A(k) = 0 e B(k) = 0: l'equazione diventa 0 · x = 0, identità vera per ogni x → equazione indeterminata (S = ℝ).
3. A(k) = 0 e B(k) ≠ 0: l'equazione diventa 0 · x = B(k) ≠ 0, mai verificata → equazione impossibile (S = ∅).

Se A(k) = 0 ha più soluzioni (es. A(k) = k² − 1 si annulla per k = ±1), ogni valore critico va analizzato separatamente.

Risolvi al variare di k l'equazione: kx + 6 = 3x + 2k

Passo 1. Porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, poi raccogli la x (forma A(k)·x = B(k)):

Passo 2. Cerca il valore di k che annulla il coefficiente A(k) = k − 3 (è il valore critico da discutere a parte):

A(k) = 0 ⟺ k = 3.

Passo 3a. Se k ≠ 3: divido per (k − 3):

Passo 3b. Se k = 3: A(3) = 0 e B(3) = 0 → 0·x = 0

Risolvi al variare di k l'equazione: kx − k = 5 − 2x

Passo 1. Porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, poi raccogli la x (forma A(k)·x = B(k)):

Passo 2. Cerca il valore di k che annulla il coefficiente A(k) = k + 2:  A(k) = 0 ⟺ k = −2.

Passo 3a. Se k ≠ −2:

Passo 3b. Se k = −2: A(−2) = 0 e B(−2) = −2 + 5 = 3 ≠ 0 → 0·x = 3

Risolvi al variare di k: k²x − k = x − 1

Passo 1. Porta i termini con la x al primo membro e i numeri (in k) al secondo, poi raccogli la x:

Passo 2. A(k) = k² − 1 = (k − 1)(k + 1) si annulla per k = 1 e k = −1: due valori critici da discutere separatamente.

1. Forma $A(k)\cdot x = B(k)$: $A(k) = k-1$, $B(k) = 2(k-1)$.
2. Valore critico: $A(k)=0 \Leftrightarrow k=1$.
3. Se $k \neq 1$: $x = \dfrac{2(k-1)}{k-1} = 2$  ⟹  $S = \{2\}$.
4. Se $k = 1$: $A=0$ e $B=0$  ⟹  $0 = 0$: equazione indeterminata.

1. Porta i termini con $x$ a sinistra: $kx - 2x = k - 3$  ⟹  $(k-2)x = k-3$.
2. Valore critico: $k = 2$.
3. Se $k \neq 2$: $x = \dfrac{k-3}{k-2}$.
4. Se $k = 2$: $B(2) = 2-3 = -1 \neq 0$  ⟹  $0 = -1$: equazione impossibile.

1. Fattorizza $A(k)$: $k^2-4 = (k-2)(k+2)$  ⟹  valori critici $k=2$ e $k=-2$.
2. Se $k=2$: $A=0$, $B=0$  ⟹  indeterminata.
3. Se $k=-2$: $A=0$, $B=-4\neq0$  ⟹  impossibile.
4. Se $k\neq\pm2$: si può semplificare il fattore $(k-2)$: $x = \dfrac{1}{k+2}$.

1. Trasporta: $(3-k)x = 1+k$.
2. Valore critico: $3-k=0 \Leftrightarrow k=3$.
3. Se $k\neq3$: $x = \dfrac{1+k}{3-k}$  ⟹  determinata.
4. Se $k=3$: $B=1+3=4\neq0$  ⟹  $0=4$: impossibile.

Un’equazione di secondo grado in una incognita si può sempre ridurre alla forma normale:

a è il coefficiente del termine quadratico, b quello del termine lineare, c è il termine noto. Se fosse a = 0 l’equazione degraderebbe al primo grado.

La formula non va imparata come una magia: si costruisce con i principi di equivalenza, trasformando il primo membro in un quadrato perfetto (completamento del quadrato).

La quantità sotto radice si chiama discriminante:

Si chiama così perché discrimina (distingue) i tre casi possibili:

Conviene calcolare sempre Δ per primo: dice subito quante soluzioni aspettarsi, prima ancora di trovarle.

Al trinomio è associata la funzione y = ax² + bx + c, il cui grafico è una parabola con asse verticale:

• se a > 0 la concavità è rivolta verso l’alto, se a < 0 verso il basso;
• il vertice ha coordinate V(−b/2a; −Δ/4a);
• le soluzioni di ax² + bx + c = 0 sono le ascisse dei punti in cui la parabola interseca l’asse x.

Prova nella simulazione: muovi a, b, c e osserva come Δ e le intersezioni cambiano insieme.

Quando le soluzioni esistono, valgono le relazioni:

Da qui la scomposizione del trinomio: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Per i trinomi con a = 1 si cercano due numeri che abbiano somma −b… anzi: somma uguale a −b/a e prodotto uguale a c/a.

1. Coefficienti: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.
2. Discriminante: $\Delta = b^2-4ac = 25-24 = 1 > 0$.
3. Formula risolutiva: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$$
4. $x_1 = 3$, $\;x_2 = 2$.
5. Verifica con Viète: $x_1+x_2 = 5 = -b/a$ ✓    $x_1\cdot x_2 = 6 = c/a$ ✓

1. Coefficienti: $a=1$, $b=-4$, $c=4$.
2. Discriminante: $\Delta = 16-16 = 0$.
3. Soluzione doppia: $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2$.
4. Il trinomio si fattorizza come $(x-2)^2 = 0$: la radice è 2, con molteplicità 2.

1. Coefficienti: $a=1$, $b=1$, $c=1$.
2. Discriminante: $\Delta = 1-4 = -3 < 0$.
3. Poiché $\Delta < 0$, l'equazione non ha soluzioni reali.
4. Graficamente: la parabola $y = x^2+x+1$ ha concavità verso l'alto e vertice sopra l'asse $x$ (non si interseca con l'asse).

1. Coefficienti: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.
2. Discriminante: $\Delta = 9+16 = 25 > 0$.
3. $$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$
4. $x_1 = \dfrac{3+5}{4} = 2$, $\quad x_2 = \dfrac{3-5}{4} = -\dfrac{1}{2}$.

Un'equazione letterale di 2° grado ha la forma a(k)·x² + b(k)·x + c(k) = 0, dove i coefficienti dipendono da un parametro k. Discuterla significa stabilire, al variare di k, di che tipo è l'equazione, quante soluzioni reali ha e come sono fatte.

La discussione completa segue quattro controlli, nell'ordine:

1. Controllo del grado — il coefficiente a(k) di x² può annullarsi: l'equazione non è più di 2° grado.
2. Positività del discriminante — il segno di Δ(k) decide quante soluzioni reali esistono.
3. Intervallo di accettabilità — l'insieme dei valori di k ammissibili (grado corretto, soluzioni reali, eventuali vincoli del problema).
4. Ordine e segno delle soluzioni — confronto tra le radici con somma e prodotto.

Prima di applicare la formula risolutiva bisogna assicurarsi che l'equazione sia davvero di secondo grado, cioè che il coefficiente di x² sia diverso da zero:

Se per qualche valore a(k) = 0, l'equazione abbassa il grado e si discute come equazione di grado inferiore:

Per a(k) ≠ 0 si calcola il discriminante Δ(k) = b(k)² − 4·a(k)·c(k), che in generale è un'espressione (spesso un trinomio) nel parametro k. Il suo segno stabilisce il numero di soluzioni reali:

Si studia quindi il segno di Δ(k): se Δ(k) è un trinomio di 2° grado in k, se ne cercano gli zeri e si applica la regola dei segni della parabola. Gli zeri di Δ(k) sono i valori di k che danno la soluzione doppia (tangenza).

L'intervallo di accettabilità del parametro è l'insieme dei valori di k che rendono l'equazione conforme a tutte le condizioni richieste. Per avere due soluzioni reali come equazione di 2° grado si intersecano:

Nei problemi si aggiungono vincoli sulle soluzioni (per esempio una lunghezza deve essere positiva, oppure le radici devono cadere in un certo intervallo): ogni vincolo restringe l'insieme dei k accettabili. La soluzione finale è l'intersezione di tutte le condizioni, di solito rappresentata su uno schema grafico con gli intervalli sovrapposti.

Quando le soluzioni sono reali si studia come sono disposte. Le relazioni tra radici e coefficienti (somma e prodotto) permettono di farlo senza risolvere:

Dal segno di S e P (regola dei segni di Cartesio) si deduce il segno delle radici:

Per stabilire quale radice è maggiore conviene sempre ordinarle come x₁ ≤ x₂; quando le radici sono note esplicitamente in k, si confronta direttamente, ricordando che il loro ordine può cambiare con il parametro.

Discuti al variare di k: kx² − (k + 1)x + 1 = 0

1) Grado. Il coefficiente di x² è k. Se k = 0: resta −x + 1 = 0 → x = 1 (1° grado). Per k ≠ 0 l'equazione è di 2° grado.

2) Discriminante. Δ = (k + 1)² − 4k = k² − 2k + 1 = (k − 1)². È un quadrato: Δ ≥ 0 per ogni k, e Δ = 0 solo per k = 1 (radice doppia x = 1).

3) Accettabilità. Soluzioni reali per ogni k ≠ 0.

4) Soluzioni e ordine. L'equazione si fattorizza: (x − 1)(kx − 1) = 0, quindi x₁ = 1 e x₂ = 1/k.

1. Controllo del grado: $a(k)=k$. Se $k=0$: l'eq. diventa $-x+1=0$, cioè $x=1$ (1° grado).
2. Discriminante (per $k\neq0$): $\Delta = (k+1)^2-4k = k^2-2k+1 = (k-1)^2 \geq 0$ sempre. Quindi $\Delta=0$ solo per $k=1$ (radice doppia).
3. Soluzioni per $k\neq0$: il trinomio si fattorizza come $(x-1)(kx-1)=0$, quindi $x_1=1$ e $x_2=1/k$.
4. Ordine delle soluzioni: se $k>1$ allora $1/k<1$; se $0<k<1$ allora $1/k>1$; se $k<0$ allora $1/k<0$.

1. Controllo del grado: $a=1\neq0$ sempre — l'equazione è sempre di 2° grado.
2. Discriminante: $\Delta = 4k^2-4(k+2) = 4(k^2-k-2) = 4(k-2)(k+1)$.
3. Segno di $\Delta$: parabola $k^2-k-2$ con radici $k=-1$ e $k=2$, concavità su. Quindi $\Delta>0$ per $k<-1$ o $k>2$; $\Delta=0$ per $k=-1$ o $k=2$; $\Delta<0$ per $-1<k<2$.
4. Due soluzioni reali distinte per $k \in (-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$; una soluzione doppia per $k=-1$ o $k=2$.

1. Controllo del grado: $a(k)=k-1=0 \Leftrightarrow k=1$. Per $k=1$: l'eq. diventa $0\cdot x^2 - 0\cdot x + 1 = 0$, cioè $1=0$: impossibile.
2. Per $k\neq1$: $\Delta = 4(k-1)^2-4k(k-1) = 4(k-1)[(k-1)-k] = 4(k-1)(-1) = -4(k-1)$.
3. $\Delta>0 \Leftrightarrow -4(k-1)>0 \Leftrightarrow k<1$, cioè per $k<1$ (e $k\neq1$) ci sono due soluzioni reali distinte.
4. $\Delta=0$ non può accadere con $k\neq1$ (sarebbe $k=1$). $\Delta<0$ per $k>1$: nessuna soluzione reale.

1. Condizione sul grado: $a=1\neq0$ sempre.
2. Condizione su $\Delta$: $\Delta = k^2 - 4(2k-4) = k^2-8k+16 = (k-4)^2 \geq 0$ sempre. Quindi l'equazione ha sempre soluzioni reali; soluzione doppia per $k=4$.
3. Condizione sul prodotto $P=x_1 x_2$: $P = 2k-4 > 0 \Leftrightarrow k>2$ (entrambe le radici hanno lo stesso segno).
4. Condizione sulla somma $S=x_1+x_2$: $S=k>0$ (affinché il segno comune sia positivo).
5. Intersezione: $k>2$ e $k>0$  ⟹  $k>2$.

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti un’incognita, costruita con uno dei simboli <, >, ≤, ≥ (il simbolo usato si chiama verso). A differenza delle equazioni, le soluzioni sono in genere infinite e formano uno o più intervalli.

Lo stesso insieme di soluzioni si può scrivere in tre modi:

• parentesi tonda ( ) e cerchietto vuoto: estremo escluso (verso stretto < o >);
• parentesi quadra [ ] e cerchietto pieno: estremo incluso (verso largo ≤ o ≥);
• il simbolo ∪ unisce intervalli separati; ∅ è l’insieme vuoto.

Per le disequazioni valgono principi analoghi a quelli delle equazioni, con una differenza cruciale nel secondo:

Primo principio

Aggiungendo o sottraendo ai due membri una stessa quantità, il verso non cambia: vale ancora la regola del trasporto.

Secondo principio

• moltiplicando o dividendo per un numero positivo, il verso resta invariato;
• moltiplicando o dividendo per un numero negativo, il verso si inverte (< diventa >, ≤ diventa ≥, e viceversa).

Si riducono alla forma ax + b > 0 (o con altro verso) e si risolvono in due passi:

1. porto il termine noto a destra: ax > −b (1° principio);
2. divido per a: se a > 0 il verso resta, se a < 0 il verso si inverte (2° principio).

Graficamente: la retta y = ax + b sta sopra l’asse x dove l’espressione è positiva e sotto dove è negativa; il punto in cui lo attraversa, x₀ = −b/a, separa le due zone.

Per risolvere ax² + bx + c > 0 (o con altro verso) si studia il segno del trinomio leggendo la parabola:

1. porto la disequazione in forma normale; se a < 0 conviene moltiplicare per −1 invertendo il verso;
2. calcolo Δ e le eventuali radici x₁ ≤ x₂ dell’equazione associata;
3. disegno uno schizzo della parabola (bastano concavità e radici);
4. leggo gli intervalli dove la parabola sta sopra (+) o sotto (−) l’asse x, secondo il verso richiesto.

Con a > 0 e Δ > 0 vale la regola «esterni / interni»: il trinomio è positivo per valori esterni alle radici, negativo per valori interni.

1. Trasporta il termine noto: $-3x > -6$.
2. Dividi per $-3$ (numero negativo: il verso si inverte): $x < 2$.
3. Verifica: $x=0$: $-3(0)+6=6>0$ ✓    $x=3$: $-3(3)+6=-3\not>0$ ✓

1. Equazione associata: $x^2-5x+4=0$  ⟹  $\Delta=25-16=9$; $x_1=1$, $x_2=4$.
2. Schizzo della parabola: $a=1>0$, concavità verso l'alto; radici $x_1=1$ e $x_2=4$.
3. Regola interno/esterno: il trinomio è negativo tra le radici ($a>0$, segno del trinomio: $-$ tra $x_1$ e $x_2$).
4. Soluzione: $1 < x < 4$.

1. Equazione associata: $x^2+2x+1=0$  ⟹  $(x+1)^2=0$; $x_0=-1$ (radice doppia).
2. La parabola con $a=1>0$ tocca l'asse $x$ solo in $x=-1$ e altrove sta sopra.
3. Poiché il verso è $\geq 0$ (incluso il punto di tangenza), la soluzione è tutto $\mathbb{R}$.

1. Moltiplica per $-1$ (inverte il verso): $x^2-4x+4 \geq 0$.
2. Equazione associata: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$; $x_0=2$ (radice doppia).
3. Il trinomio $x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ (è un quadrato perfetto).
4. La soluzione è tutto $\mathbb{R}$.

Un sistema è un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. Una soluzione di un sistema in due incognite è una coppia ordinata (x; y) che rende vere tutte le equazioni.

Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle sue equazioni: due equazioni lineari danno un sistema di 1° grado; una retta e una parabola danno un sistema di 2° grado.

Ogni equazione lineare in x e y rappresenta una retta nel piano cartesiano. Risolvere il sistema significa cercare i punti comuni alle due rette:

Con i coefficienti (tutti non nulli) il confronto dei rapporti dice subito il caso:

Il metodo grafico traduce il sistema in un disegno: si tracciano le due rette nello stesso piano cartesiano e si leggono le coordinate del punto in cui si incontrano. È il metodo che rende visibile il significato di «soluzione».

1. Esplicito la y in ciascuna equazione, portandola nella forma y = mx + q (se il coefficiente di y è nullo si ottiene una retta verticale x = costante).
2. Costruisco una tabella di valori: per ogni retta bastano due punti (due rette passano per due punti). Conviene scegliere ascisse comode, ad esempio x = 0 e un valore che dia un'ordinata intera.
3. Traccio le due rette unendo i rispettivi punti ed estendendole.
4. Leggo l'intersezione: le coordinate (x; y) del punto comune sono la soluzione del sistema.
5. Verifico sostituendo i valori trovati nelle due equazioni di partenza.

La posizione reciproca delle rette dà subito il tipo di sistema:

1. Isolo un’incognita in una delle due equazioni (conviene quella con coefficiente 1 o −1).
2. Sostituisco l’espressione trovata nell’altra equazione: ottengo un’equazione in una sola incognita.
3. La risolvo.
4. Sostituisco il valore trovato nell’espressione del punto 1 e ricavo l’altra incognita.

Si sommano o sottraggono membro a membro le due equazioni, dopo averle eventualmente moltiplicate per numeri opportuni, in modo che un’incognita abbia coefficienti opposti (o uguali) e si elimini.

Per rendere opposti i coefficienti di y si moltiplica la prima equazione per b₂ e la seconda per b₁ (o per i fattori del loro minimo comune multiplo), poi si sottrae.

Si basa sui determinanti delle matrici 2×2. Il determinante è:

Per il sistema in forma normale si calcolano tre determinanti: D con i coefficienti delle incognite; D_x sostituendo la colonna delle x con i termini noti; D_y sostituendo la colonna delle y.

Un sistema tra una parabola y = ax² + bx + c e una retta y = mx + q si risolve per sostituzione: eguagliando le due espressioni di y si ottiene l’equazione risolvente di secondo grado:

Il suo discriminante decide la posizione reciproca:

1. Isola $y$ dalla 2ª equazione: $y = x-2$.
2. Sostituisci nella 1ª: $2x+(x-2)=7$  ⟹  $3x=9$  ⟹  $x=3$.
3. Ricava $y$: $y=3-2=1$.
4. Verifica: $2(3)+1=7$ ✓ e $3-1=2$ ✓.

1. Per eliminare $x$: moltiplica la 2ª per 3: $3x+12y=24$.
2. Sottrai la 1ª dalla 2ª moltiplicata: $(3x+12y)-(3x+2y) = 24-10$  ⟹  $10y=14$  ⟹  $y=1{,}4$.
3. Ricava $x$: $x = 8-4(1{,}4) = 8-5{,}6 = 2{,}4$.
4. Verifica: $3(2{,}4)+2(1{,}4)=7{,}2+2{,}8=10$ ✓ e $2{,}4+4(1{,}4)=2{,}4+5{,}6=8$ ✓.

1. Determinante principale: $D = \begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix} = 6-(-1)=7\neq0$: sistema determinato.
2. $D_x$: $D_x = \begin{vmatrix}3&-1\\10&3\end{vmatrix} = 9-(-10)=19$;   $x = D_x/D = 19/7$.
3. $D_y$: $D_y = \begin{vmatrix}2&3\\1&10\end{vmatrix} = 20-3=17$;   $y = D_y/D = 17/7$.

1. Eguaglia le due espressioni di $y$: $x^2-1=x+1$  ⟹  $x^2-x-2=0$.
2. Risolvi l'equazione risolvente: $\Delta=1+8=9$; $x_{1,2}=\dfrac{1\pm3}{2}$; $x_1=-1$, $x_2=2$.
3. Calcola le ordinate: $y_1=(-1)+1=0$; $y_2=2+1=3$.
4. La retta e la parabola si intersecano in due punti: la retta è secante.

Il valore assoluto (o modulo) di un reale x è

Geometricamente |x| è la distanza di x dallo zero sulla retta dei numeri. Proprietà essenziali:

• |x| ≥ 0 per ogni x ∈ ℝ;  |x| = 0 ⟺ x = 0
• |−x| = |x|;   |x·y| = |x|·|y|;   |x/y| = |x|/|y|  (y ≠ 0)
• Disuguaglianza triangolare: |x + y| ≤ |x| + |y|

Se c è una costante:

• Se c < 0: nessuna soluzione (il modulo è sempre ≥ 0).
• Se c = 0: f(x) = 0.
• Se c > 0: si ottengono due equazioni lineari:

Quando il secondo membro non è una costante, si procede ugualmente per casi, ma occorre verificare che le soluzioni soddisfino g(x) ≥ 0 (condizione necessaria, perché il primo membro è ≥ 0).

|f(x)| = |g(x)|: il modulo è uguale per entrambi i membri, nessuna condizione aggiuntiva:

Per equazioni con più moduli (es. |ax+b| + |cx+d| = k), si usa il metodo dei punti critici:

1. Trova le radici di ogni polinomio dentro un modulo (punti critici).
2. I punti critici dividono ℝ in intervalli: in ciascuno i segni sono determinati.
3. In ogni intervallo sostituisci i moduli con il segno corretto e risolvi.
4. Tieni solo le soluzioni che appartengono all'intervallo in esame.

1. Il secondo membro è 7 > 0 → si procede con due casi. Se fosse < 0, non ci sarebbero soluzioni.
2. Caso 1: 2x − 3 = 7 → 2x = 10 → x = 5
3. Caso 2: 2x − 3 = −7 → 2x = −4 → x = −2
4. Verifica: |2·5−3| = |7| = 7 ✓  ;  |2·(−2)−3| = |−7| = 7 ✓

1. Caso 1: x + 4 = 2x − 1 → x = 5
   Verifica: 2·5−1 = 9 ≥ 0 ✓  ;  |9| = 9 ✓
2. Caso 2: x + 4 = −(2x−1) = −2x+1 → 3x = −3 → x = −1
   Verifica: 2·(−1)−1 = −3 < 0 → soluzione estranea, scartata.

1. Con due moduli uguali: |A| = |B| ⟺ A = B oppure A = −B
2. Caso 1: 3x−1 = x+5 → 2x = 6 → x = 3
3. Caso 2: 3x−1 = −(x+5) = −x−5 → 4x = −4 → x = −1
4. Nessuna verifica aggiuntiva necessaria (entrambi i membri sono moduli).

1. Punti critici: x = 1 (da |x−1|) e x = −3 (da |x+3|) → tre intervalli.
2. I · x < −3: −(x−1)−(x+3) = 6 → −2x−2 = 6 → x = −4 ✓
3. II · −3 ≤ x < 1: −(x−1)+(x+3) = 4 ≠ 6 → ∅ La somma è costante 4 in tutto l'intervallo.
4. III · x ≥ 1: (x−1)+(x+3) = 6 → 2x+2 = 6 → x = 2 ✓

Un'equazione irrazionale è un'equazione in cui l'incognita compare sotto un segno di radice (quadrata). La condizione di esistenza richiede che il radicando sia non negativo:

Solo i valori di x che soddisfano la CE possono essere soluzioni. La CE deve essere verificata prima o insieme alla risoluzione.

Metodo di risoluzione:

1. Scrivi la CE: f(x) ≥ 0.
2. Aggiungi la condizione necessaria: g(x) ≥ 0 (il secondo membro deve essere ≥ 0).
3. Eleva al quadrato entrambi i membri: f(x) = [g(x)]².
4. Risolvi l'equazione risultante.
5. Verifica ogni soluzione nella CE e nel secondo membro ≥ 0: le soluzioni che non soddisfano sono estranee.

L'operazione di elevamento al quadrato non è un'equivalenza: può introdurre soluzioni dell'equazione quadratica che non soddisfano quella originale. Questo accade perché:

• l'equazione a² = b² equivale a |a| = |b|, non ad a = b;
• se g(x₀) < 0, allora √f(x₀) ≠ g(x₀) (un radicale è sempre ≥ 0).

Quando compaiono due radicali, isola un radicale per volta:

1. Scrivi le CE: f(x) ≥ 0 e g(x) ≥ 0.
2. Porta un radicale isolato a sinistra, il resto a destra.
3. Eleva al quadrato: il membro sinistro perde il radicale; il destro può contenere ancora un radicale.
4. Ripeti se necessario.
5. Verifica le soluzioni ottenute.

1. CE: 2x+3 ≥ 0 → x ≥ −3/2. Secondo membro 3 ≥ 0 ✓
2. Elevo al quadrato: 2x+3 = 9 → 2x = 6 → x = 3
3. Verifica: x = 3 ≥ −3/2 ✓; $\sqrt{2\cdot 3+3}$ = √9 = 3 ✓

1. CE: x+5 ≥ 0 → x ≥ −5;   cond.: x−1 ≥ 0 → x ≥ 1
2. Elevo al quadrato: x+5 = (x−1)² = x²−2x+1
   x²−3x−4 = 0 → (x−4)(x+1) = 0 → x = 4 ∨ x = −1
3. Verifica: x = 4 ≥ 1 ✓  ;   x = −1 < 1 → estranea

1. CE: 2x+1 ≥ 0 → x ≥ −1/2;   x+4 ≥ 0 → x ≥ −4  →  x ≥ −1/2
2. Elevo al quadrato: 2x+1 = x+4 → x = 3
3. Verifica: x = 3 ≥ −1/2 ✓; √7 = √7 ✓

1. CE: x+12 ≥ 0 → x ≥ −12;   cond.: x ≥ 0 (secondo membro ≥ 0)
2. Elevo al quadrato: x+12 = x² → x²−x−12 = 0
   (x−4)(x+3) = 0 → x = 4 ∨ x = −3
3. Verifica: x = 4 ≥ 0 ✓; √16 = 4 ✓  ;   x = −3 < 0 → estranea

Poiché |x − a| è la distanza di x dal punto a, le disequazioni con modulo hanno una lettura immediata sulla retta:

• |x| < k (k > 0): x si trova a distanza < k dallo 0 → −k < x < k
• |x| > k (k > 0): x si trova a distanza > k dallo 0 → x < −k ∨ x > k
• |x − a| < r: intervallo centrato in a di raggio r → (a−r ; a+r)

La soluzione è un intervallo aperto (o chiuso con ≤):

La soluzione è l'unione di due semirette:

Per disequazioni del tipo |f(x)| > |g(x)| o con somme di moduli, si usa lo stesso metodo dei punti critici delle equazioni:

1. Trova i punti critici (radici dei polinomi dentro i moduli).
2. In ogni intervallo, sostituisci i moduli con il segno noto e risolvi la disequazione lineare.
3. Interseca la soluzione trovata con l'intervallo in esame.
4. Unisci tutte le soluzioni parziali.

1. k = 5 > 0 → applico la regola: −5 < 2x−1 < 5
2. Sommo 1: −4 < 2x < 6
3. Divido per 2 (positivo, il verso non cambia): −2 < x < 3

1. k = 4 > 0 → due condizioni separate con ∨:
   3x+2 ≤ −4   ∨   3x+2 ≥ 4
2. Primo: 3x ≤ −6 → x ≤ −2
3. Secondo: 3x ≥ 2 → x ≥ 2/3

1. Il modulo è sempre ≥ 0; quindi |x−3| ≤ 0 ⟺ |x−3| = 0.
2. |x−3| = 0 ⟺ x−3 = 0 ⟺ x = 3

1. Punti critici: x = −2 e x = 1 → tre intervalli.
2. I · x < −2: −(x+2) > −(x−1) → −x−2 > −x+1 → −2 > 1 → falso → ∅
3. II · −2 ≤ x < 1: (x+2) > −(x−1) → x+2 > −x+1 → 2x > −1 → x > −1/2
   Intersezione con [−2; 1):   −1/2 < x < 1
4. III · x ≥ 1: (x+2) > (x−1) → 2 > −1 → sempre vero → x ≥ 1

Per ogni disequazione irrazionale del tipo $\sqrt{f(x)}$ ⋛ g(x) il dominio di esistenza (DE) richiede f(x) ≥ 0. Le soluzioni devono appartenere al DE.

Il metodo si divide poi in casi in base al segno di g(x).

La disequazione $\sqrt{f(x)}$ > g(x) si risolve così:

Affinché $\sqrt{f(x)}$ < g(x) abbia senso, il secondo membro deve essere strettamente positivo (il radicale è ≥ 0, quindi deve risultare minore di qualcosa > 0):

Quando g(x) = cx+d dipende da x, bisogna studiare il segno di g(x) in combinazione con il DE:

1. DE: x+3 ≥ 0 → x ≥ −3;   g = 2 > 0 → caso «g positivo».
2. Elevo al quadrato: x+3 > 4 → x > 1
3. Intersezione con DE: x > 1 (già incluso in x ≥ −3).

1. DE: 2x−1 ≥ 0 → x ≥ 1/2;   g = 3 > 0 → elevo.
2. 2x−1 ≤ 9 → 2x ≤ 10 → x ≤ 5
3. Intersezione con DE: 1/2 ≤ x ≤ 5

1. DE: x ≥ 1.
2. Caso A — g < 0: x−3 < 0 → x < 3;   intersezione DE: 1 ≤ x < 3 → tutto soluzione.
3. Caso B — g ≥ 0: x−3 ≥ 0 → x ≥ 3; elevo:
   x−1 > (x−3)² = x²−6x+9 → x²−7x+10 < 0 → (x−2)(x−5) < 0 → 2 < x < 5
   Intersezione con x ≥ 3: 3 ≤ x < 5
4. Unione: [1; 3) ∪ [3; 5) = [1; 5)

1. DE: 5−x ≥ 0 → x ≤ 5;   g = 1 > 0 → elevo.
2. 5−x ≥ 1 → −x ≥ −4 → x ≤ 4
3. Intersezione con DE (x ≤ 5): x ≤ 4