Equazioni, disequazioni e sistemi

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti un’incognita (di solito indicata con x), vera solo per particolari valori attribuiti all’incognita. L’espressione a sinistra dell’uguale si chiama primo membro, quella a destra secondo membro.

I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni (o radici). Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme S di tutte le sue soluzioni. Un’equazione può essere:

• determinata: ha un numero finito di soluzioni (per il primo grado: una sola);
• impossibile: nessun valore la verifica, S = ∅ (es. x = x + 1);
• indeterminata (identità): è vera per qualsiasi valore (es. 2(x + 1) = 2x + 2).

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. I principi di equivalenza permettono di trasformare un’equazione in un’altra equivalente ma più semplice. L’immagine guida è la bilancia a due piatti in equilibrio: i due membri «pesano» uguale, e l’equilibrio si conserva solo se ogni operazione viene fatta su entrambi i piatti.

Primo principio (addizione e sottrazione)

Aggiungendo o sottraendo ai due membri uno stesso numero (o una stessa espressione) si ottiene un’equazione equivalente. Conseguenze pratiche:

• regola del trasporto: un termine può passare da un membro all’altro cambiando di segno;
• termini uguali presenti in entrambi i membri si possono cancellare.

Secondo principio (moltiplicazione e divisione)

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero si ottiene un’equazione equivalente. Conseguenze pratiche:

• si possono cambiare i segni di tutti i termini (equivale a moltiplicare per −1);
• si possono eliminare i denominatori numerici moltiplicando per il loro minimo comune multiplo.

1. Svolgi i calcoli ed elimina le parentesi.
2. Con il 1° principio porta i termini con l’incognita nel primo membro e i termini noti nel secondo (cambiando segno a chi «trasloca»).
3. Riduci i termini simili: ottieni la forma ax = b.
4. Con il 2° principio dividi entrambi i membri per a (se a ≠ 0).

Verificare una soluzione significa sostituirla al posto dell’incognita nell’equazione iniziale (non in quelle intermedie) e controllare che i due membri assumano lo stesso valore.

La verifica protegge dagli errori di calcolo e di trascrizione: se i due valori non coincidono, qualche passaggio va rivisto.

Un'equazione letterale è un'equazione di primo grado in x i cui coefficienti dipendono da un parametro (di solito indicato con k, a o m). A seconda del valore del parametro, la stessa equazione può comportarsi in modo radicalmente diverso.

L'obiettivo della discussione è classificare l'equazione per ogni possibile valore del parametro, distinguendo sempre tre casi fondamentali.

Dopo aver raccolto tutti i termini contenenti x a sinistra e i termini noti (in k) a destra, si arriva alla forma ridotta:

Il passo critico è la divisione per A(k): è lecita solo se A(k) ≠ 0. La discussione consiste nel risolvere separatamente:

1. A(k) ≠ 0: si divide e si ottiene l'unica soluzione x = B(k) / A(k).
2. A(k) = 0 e B(k) = 0: l'equazione diventa 0 · x = 0, identità vera per ogni x → equazione indeterminata (S = ℝ).
3. A(k) = 0 e B(k) ≠ 0: l'equazione diventa 0 · x = B(k) ≠ 0, mai verificata → equazione impossibile (S = ∅).

Se A(k) = 0 ha più soluzioni (es. A(k) = k² − 1 si annulla per k = ±1), ogni valore critico va analizzato separatamente.

Risolvi al variare di k l'equazione: kx + 6 = 3x + 2k

Passo 1. Porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, poi raccogli la x (forma A(k)·x = B(k)):

Passo 2. Cerca il valore di k che annulla il coefficiente A(k) = k − 3 (è il valore critico da discutere a parte):

A(k) = 0 ⟺ k = 3.

Passo 3a. Se k ≠ 3: divido per (k − 3):

Passo 3b. Se k = 3: A(3) = 0 e B(3) = 0 → 0·x = 0

Risolvi al variare di k l'equazione: kx − k = 5 − 2x

Passo 1. Porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, poi raccogli la x (forma A(k)·x = B(k)):

Passo 2. Cerca il valore di k che annulla il coefficiente A(k) = k + 2:  A(k) = 0 ⟺ k = −2.

Passo 3a. Se k ≠ −2:

Passo 3b. Se k = −2: A(−2) = 0 e B(−2) = −2 + 5 = 3 ≠ 0 → 0·x = 3

Risolvi al variare di k: k²x − k = x − 1

Passo 1. Porta i termini con la x al primo membro e i numeri (in k) al secondo, poi raccogli la x:

Passo 2. A(k) = k² − 1 = (k − 1)(k + 1) si annulla per k = 1 e k = −1: due valori critici da discutere separatamente.

Un’equazione di secondo grado in una incognita si può sempre ridurre alla forma normale:

a è il coefficiente del termine quadratico, b quello del termine lineare, c è il termine noto. Se fosse a = 0 l’equazione degraderebbe al primo grado.

La formula non va imparata come una magia: si costruisce con i principi di equivalenza, trasformando il primo membro in un quadrato perfetto (completamento del quadrato).

La quantità sotto radice si chiama discriminante:

Si chiama così perché discrimina (distingue) i tre casi possibili:

Conviene calcolare sempre Δ per primo: dice subito quante soluzioni aspettarsi, prima ancora di trovarle.

Al trinomio è associata la funzione y = ax² + bx + c, il cui grafico è una parabola con asse verticale:

• se a > 0 la concavità è rivolta verso l’alto, se a < 0 verso il basso;
• il vertice ha coordinate V(−b/2a; −Δ/4a);
• le soluzioni di ax² + bx + c = 0 sono le ascisse dei punti in cui la parabola interseca l’asse x.

Prova nella simulazione: muovi a, b, c e osserva come Δ e le intersezioni cambiano insieme.

Quando le soluzioni esistono, valgono le relazioni:

Da qui la scomposizione del trinomio: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Per i trinomi con a = 1 si cercano due numeri che abbiano somma −b… anzi: somma uguale a −b/a e prodotto uguale a c/a.

Un'equazione letterale di 2° grado ha la forma a(k)·x² + b(k)·x + c(k) = 0, dove i coefficienti dipendono da un parametro k. Discuterla significa stabilire, al variare di k, di che tipo è l'equazione, quante soluzioni reali ha e come sono fatte.

La discussione completa segue quattro controlli, nell'ordine:

1. Controllo del grado — il coefficiente a(k) di x² può annullarsi: l'equazione non è più di 2° grado.
2. Positività del discriminante — il segno di Δ(k) decide quante soluzioni reali esistono.
3. Intervallo di accettabilità — l'insieme dei valori di k ammissibili (grado corretto, soluzioni reali, eventuali vincoli del problema).
4. Ordine e segno delle soluzioni — confronto tra le radici con somma e prodotto.

Prima di applicare la formula risolutiva bisogna assicurarsi che l'equazione sia davvero di secondo grado, cioè che il coefficiente di x² sia diverso da zero:

Se per qualche valore a(k) = 0, l'equazione abbassa il grado e si discute come equazione di grado inferiore:

Per a(k) ≠ 0 si calcola il discriminante Δ(k) = b(k)² − 4·a(k)·c(k), che in generale è un'espressione (spesso un trinomio) nel parametro k. Il suo segno stabilisce il numero di soluzioni reali:

Si studia quindi il segno di Δ(k): se Δ(k) è un trinomio di 2° grado in k, se ne cercano gli zeri e si applica la regola dei segni della parabola. Gli zeri di Δ(k) sono i valori di k che danno la soluzione doppia (tangenza).

L'intervallo di accettabilità del parametro è l'insieme dei valori di k che rendono l'equazione conforme a tutte le condizioni richieste. Per avere due soluzioni reali come equazione di 2° grado si intersecano:

Nei problemi si aggiungono vincoli sulle soluzioni (per esempio una lunghezza deve essere positiva, oppure le radici devono cadere in un certo intervallo): ogni vincolo restringe l'insieme dei k accettabili. La soluzione finale è l'intersezione di tutte le condizioni, di solito rappresentata su uno schema grafico con gli intervalli sovrapposti.

Quando le soluzioni sono reali si studia come sono disposte. Le relazioni tra radici e coefficienti (somma e prodotto) permettono di farlo senza risolvere:

Dal segno di S e P (regola dei segni di Cartesio) si deduce il segno delle radici:

Per stabilire quale radice è maggiore conviene sempre ordinarle come x₁ ≤ x₂; quando le radici sono note esplicitamente in k, si confronta direttamente, ricordando che il loro ordine può cambiare con il parametro.

Discuti al variare di k: kx² − (k + 1)x + 1 = 0

1) Grado. Il coefficiente di x² è k. Se k = 0: resta −x + 1 = 0 → x = 1 (1° grado). Per k ≠ 0 l'equazione è di 2° grado.

2) Discriminante. Δ = (k + 1)² − 4k = k² − 2k + 1 = (k − 1)². È un quadrato: Δ ≥ 0 per ogni k, e Δ = 0 solo per k = 1 (radice doppia x = 1).

3) Accettabilità. Soluzioni reali per ogni k ≠ 0.

4) Soluzioni e ordine. L'equazione si fattorizza: (x − 1)(kx − 1) = 0, quindi x₁ = 1 e x₂ = 1/k.

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti un’incognita, costruita con uno dei simboli <, >, ≤, ≥ (il simbolo usato si chiama verso). A differenza delle equazioni, le soluzioni sono in genere infinite e formano uno o più intervalli.

Lo stesso insieme di soluzioni si può scrivere in tre modi:

• parentesi tonda ( ) e cerchietto vuoto: estremo escluso (verso stretto < o >);
• parentesi quadra [ ] e cerchietto pieno: estremo incluso (verso largo ≤ o ≥);
• il simbolo ∪ unisce intervalli separati; ∅ è l’insieme vuoto.

Per le disequazioni valgono principi analoghi a quelli delle equazioni, con una differenza cruciale nel secondo:

Primo principio

Aggiungendo o sottraendo ai due membri una stessa quantità, il verso non cambia: vale ancora la regola del trasporto.

Secondo principio

• moltiplicando o dividendo per un numero positivo, il verso resta invariato;
• moltiplicando o dividendo per un numero negativo, il verso si inverte (< diventa >, ≤ diventa ≥, e viceversa).

Si riducono alla forma ax + b > 0 (o con altro verso) e si risolvono in due passi:

1. porto il termine noto a destra: ax > −b (1° principio);
2. divido per a: se a > 0 il verso resta, se a < 0 il verso si inverte (2° principio).

Graficamente: la retta y = ax + b sta sopra l’asse x dove l’espressione è positiva e sotto dove è negativa; il punto in cui lo attraversa, x₀ = −b/a, separa le due zone.

Per risolvere ax² + bx + c > 0 (o con altro verso) si studia il segno del trinomio leggendo la parabola:

1. porto la disequazione in forma normale; se a < 0 conviene moltiplicare per −1 invertendo il verso;
2. calcolo Δ e le eventuali radici x₁ ≤ x₂ dell’equazione associata;
3. disegno uno schizzo della parabola (bastano concavità e radici);
4. leggo gli intervalli dove la parabola sta sopra (+) o sotto (−) l’asse x, secondo il verso richiesto.

Con a > 0 e Δ > 0 vale la regola «esterni / interni»: il trinomio è positivo per valori esterni alle radici, negativo per valori interni.

Un sistema è un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. Una soluzione di un sistema in due incognite è una coppia ordinata (x; y) che rende vere tutte le equazioni.

Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle sue equazioni: due equazioni lineari danno un sistema di 1° grado; una retta e una parabola danno un sistema di 2° grado.

Ogni equazione lineare in x e y rappresenta una retta nel piano cartesiano. Risolvere il sistema significa cercare i punti comuni alle due rette:

Con i coefficienti (tutti non nulli) il confronto dei rapporti dice subito il caso:

Il metodo grafico traduce il sistema in un disegno: si tracciano le due rette nello stesso piano cartesiano e si leggono le coordinate del punto in cui si incontrano. È il metodo che rende visibile il significato di «soluzione».

1. Esplicito la y in ciascuna equazione, portandola nella forma y = mx + q (se il coefficiente di y è nullo si ottiene una retta verticale x = costante).
2. Costruisco una tabella di valori: per ogni retta bastano due punti (due rette passano per due punti). Conviene scegliere ascisse comode, ad esempio x = 0 e un valore che dia un'ordinata intera.
3. Traccio le due rette unendo i rispettivi punti ed estendendole.
4. Leggo l'intersezione: le coordinate (x; y) del punto comune sono la soluzione del sistema.
5. Verifico sostituendo i valori trovati nelle due equazioni di partenza.

La posizione reciproca delle rette dà subito il tipo di sistema:

1. Isolo un’incognita in una delle due equazioni (conviene quella con coefficiente 1 o −1).
2. Sostituisco l’espressione trovata nell’altra equazione: ottengo un’equazione in una sola incognita.
3. La risolvo.
4. Sostituisco il valore trovato nell’espressione del punto 1 e ricavo l’altra incognita.

Si sommano o sottraggono membro a membro le due equazioni, dopo averle eventualmente moltiplicate per numeri opportuni, in modo che un’incognita abbia coefficienti opposti (o uguali) e si elimini.

Per rendere opposti i coefficienti di y si moltiplica la prima equazione per b₂ e la seconda per b₁ (o per i fattori del loro minimo comune multiplo), poi si sottrae.

Si basa sui determinanti delle matrici 2×2. Il determinante è:

Per il sistema in forma normale si calcolano tre determinanti: D con i coefficienti delle incognite; D_x sostituendo la colonna delle x con i termini noti; D_y sostituendo la colonna delle y.

Un sistema tra una parabola y = ax² + bx + c e una retta y = mx + q si risolve per sostituzione: eguagliando le due espressioni di y si ottiene l’equazione risolvente di secondo grado:

Il suo discriminante decide la posizione reciproca: